Les maths au poker : La GTO à la river (Partie mathématique)

06 avril 2022
florian99p99
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Après vous avoir initier à la théorie des jeux dans son premier article, l'académicien florian99p99 vous propose un article sur la théorie à la River. Dans cette première partie, il s'intéressera à la partie purement mathématique. Suivra alors un second papier qui abordera les Solvers.

Introduction

Cet article fait suite à l’article n° 1 initiation à la théorie des jeux appliquée au poker. Je vais tenter de vous expliquer des concepts plus avancés sur la river. Il y’aura une partie théorie (mathématique), et une autre partie pratique (solver).

La partie solver sera la plus importante des parties (prochain article), car si vous n’arrivez pas à appliquer les concepts avec une range réel (NLH, PLO …), alors ça va vous servir à rien. Les concepts enseignés vont vous être utiles quelle que soit la variante de poker, et le format de jeu que vous jouez. On s'intéressera dans la partie 2 au no limit holdem cash game 100 BB deep.

Vous n’êtes pas obligé de lire l’article dans l’ordre, vous pouvez par exemple commencer par la partie solver, et revenir dans la partie des modèles mathématiques si vous voulez comprendre un concept, mais le mieux c’est de lire la partie explication des équations de chaque jeu (il n’y a aucune mathématique dans cette partie n’ayez crainte).

La partie mathématique restera facile, de façon à ce que tout le monde puisse comprendre. Si vous le souhaitez, vous pouvez passer toute la partie calcul, et lire directement la partie explication des équations de chaque jeu.

La méthode de calcul pour résoudre le jeu est différente de celle que j’ai utilisé dans mon premier article, je vais résoudre le jeu avec des matrices de gain, ça sera plus simple pour ce qui n’aime pas les mathématiques de suivre et comprendre les calculs.

Je vous conseille au préalable d’avoir lu le 1 er article avant de lire celui-ci. Toutefois, vous pouvez quand même commencer par celui-ci, et s’il y a un concept, une définition, que vous ne comprenez pas, alors vous pouvez jeter un œil à l’article précèdent.

Parie 1 : théorie modèle mathématique

Je vais ici poursuivre l’étude du toy games de l’article précédent, en ajoutant des branches à l’arbre du jeu, plus un autre jeu polar VS bluff catcher, et enfin un dernier jeu qui va introduire le concept du
blocking bet.

Je vais vous présenter la théorie de 3 arbres différents pour le jeu (0.1) (si vous ne connaissez pas le jeu (0.1, alors je vous conseille de lire la présentation du jeu dans l’article initiation à la théorie des jeux.

Jeu n° 1 ligne de jeu :

Bet call
Bet fold
Check check

Check bet fold
Check bet call

Jeu 2 ligne de jeu :

Check check
Check bet fold
Check bet call
Bet fold
Bet call
Bet raise fold
Bet raise call

Jeu 3 ligne de jeu :

Check check
Bet fold
Bet call
Bet raise fold
Bet raise call
Check bet fold
Check bet call
Check bet raise fold
Check bet raise call

Jeu 4 ligne de jeu :

Et en dernier je vais introduire un jeu sur le blocking bet (Je ne métrai pas les calculs, car ils sont nettement plus compliqués que ce des autres jeux, mais si vous voulez les calculs je peux toujours vous les donner dans les commentaires.).

Le non des points d’indifférences seront les mêmes que dans l’article 1, sauf qu’ici au lieu de mettre x pour OOP, et y pour IP, on aura S pour IP, et B pour OOP. S pour SB, et B pour BB (en hu les positions sont inversées.)

Moyen memo technique pour retenir les seuils :

J’ai fait le choix de rendre la lecture des équations plus difficile en compensation de moyen memo technique facile à appliquer pour retenir les seuils.

On a B pour OOP, et S pour IP

Le chiffre 1 sans l’étoile veut dire bet, 2 sans étoile veut dire raise, 3 sans étoile reraise … ex S1 = bet IP, B2 = check raise OOP…

Quand il y’a une étoile ça veut dire call.

Quand il y’a un zéro à la fin ça veut dire bluff. Ex : S0 = bet bluff, S20 = raise en bluff S30 = reraise en bluff.

J’aurai pu appeler les seuils a, b, c, d, e, f, g, h, i, mais cela aurait étais je pense moins pratique.

Jeux (0,1) n°1

Arbre du jeu

Aucune relance n’est autorisée
Les joueurs peuvent bets check et fold à leur convenance.

Main seuil

B0 = main seuille de la BB indifférent entre bluff ou check fold
B1* = main seuille de la BB indifférent entre check call ou check fold face à S1
B1 = main seuille de la BB indifférent entre value ou check call
S0 = main seuille de la SB qui est indifférent entre bluff ou check back
S1 * main seuille de la SB qui est indifférent entre call ou fold face à un lead de B1
S1 = main seuille de la SB qui est indifférent entre value ou check back

Paramétrage du jeu :

0 < B1 < S1 < B1*, S1* < S0 < B0 <1

Commentaire : la traduction des équations d’indifférence qui nous intéresse est la traduction des domaines : exemple la traduction de l’équation d’indifférence en B1* qui nous intéresse est (1 – S0) =
… et non S0 = … car le domaine de bluff de la SB se traduit bien par 1 – S0.

On à S = stack, B = bet, P = pot.

En B1 * on obtient l’équation d’indifférence suivante :

S1 * (- B) + (P + B) * (1 - S0) = 0 (équation 9.1)
- S1 + (P + 1) * (1 - S0) = 0
S1 = (P + 1) * (1 – S0)
- S1 + (P + 1) * (1 - S0) = 0
S1 = (P + 1) * (1 - S0)
S1 / (P + 1) = 1 - S0
S1 / (P + 1) - 1 = - S0
S0 = - S1 / (P + 1) +1

(P + 1) * (1 - S0) = S1
(1 - S0) = S1 / (P + 1)
(1 - S0) = S1 (1 / (P + 1))

En B1 on obtient l’équation d’indifférence suivante :

(S1* - S1) * B + (1 - S0) * (- B) = 0 (équation 9.2)
(S1* - S1) - (1 - S0) = 0
S1* - S1 - 1 + S0 = 0
S1 = S1* - 1 + S0
S1* - S1 = 1 - S0

En B0 on obtient l’équation d’indifférence suivante :

- B * S1* + (B0 - S1*) P + (1 - B0) P = 0 (équation 9.3)
- S1* + (B0 - S1*) P + (1 - B0) P = 0
S1* / P = B0 - S1* + 1 - B0
S1* / P = 1 – S1*
S1* = - P S1 + P
S1* + P S1 = - P S1* + P S1 + P
S1* + P S1* = P
S1* (P + 1) = P
S1* (P + 1) / P = P / (P + 1)
S1* = P / (P + 1)

En S1 on obtient l’équation d’indifférence suivante :

(S1 - B1) * (- B) + (B1* - S1) * B = 0 (équation 9.4)
- (S1 - B1) + (B1* - S1) = 0
- S1 + B1 + B1* - S1 = 0

S1 = B1 + B1* - S1
2 S1 = B1 + B1*
S1 = (B1 + B1*) / 2

Commentaire : cela veut dire que la SB va value bet toutes les mains qui battent plus qu’ils ne perdent face à la main seuil B1*. En effet cela est vrai car il n’y a pas de relance possible.

En S1* on obtient l’équation d’indifférence suivante :

B1 * (-B) + (B + P) * (1 - B0) = 0 (équation 9.5)
- B1 + (B + P) * (1 - B0) = 0
(1 - B0) = B1 / (1 + P)
(1 – B0) = B1 (1 / (P + 1)

En S0 on obtient l’équation d’indifférence suivante :

(B1* - B1) * (- B) + (S0 - B1*) * P = 0 (équation 9.6)
B1* - B1 = P (S0 – B1*)
B1* = B / (B + P) (P S0 + B1)
B1* = P / (B + P) (S0) - P / (B + P) B1 + B1
B1* = P / (B + P) (So – B1) + B1

Résumé des équations d’indifférences

Explication des équations

(Équation 9.3) S1* = P / (P + 1)

Cette équation nous montre quelle que chose de très intéressant.

Souvenez-vous dans l’article numéro un on a vu que OOP call S0 P / (P + B), cela voulait dire que OOP devait call P / (P + B) de toute ces mains qui battent les bluffs de IP.

Mais alors pourquoi IP ne call pas S1* = P / (P + B) B0.

Pour comprendre ça il faut regarder l’EV des bluffs dans la ligne check.

Dans le jeu où OOP devait jouer en check call check fold, l’EV des bluffs de IP était juste égale à son Equity, mais ici l’EV de check de BB égale zéro. Pourquoi ?

On a vu dans le jeu numéro 1 que le seuil de bet de IP était situé au point égale distance de 0 et de B1*. Cela veut dire que notre bottom de value devra gagner 1/2 contre la range de call.

Donc quand OOP bet IP va call P/(B+P), car l'EV des bluffs de OOP = 0, et non (1 - B0) P comme IP (c’est (1 - S0) P pour IP), car 1 - B0 est le % de mains que la main au point B0 domine. Donc si après un check IP aurait pour interdiction de bet, alors IP devrait call P/(B+P) B0.

Mais ici IP peut bet, et les mains de IP situés entre 1 et B0 seront des mains qui vont toujours bluff, ce qui fait que l'EV de B0 est égale à 0.

Pourquoi So < à B0 ?

La réponse est très simple, quand OOP bet il va abandonner une partie de sa range, (le haut de sa range pour value, et le bas en bluff). Ce qui fait que si on appelle B1* le points ou OOP call, et S1* ou IP call, on aura S1* < à B1* car OOP devra défendre (1 – a) S0 + B1 a = B1* ce qui est inférieur à P/ (B + P).

Et la range de value dans ce jeu doit battre 1/2 la range de call, donc IP va forcément value plus de mains, et donc bluff plus, d'où S0 < B0.

De même OOP va fold plus en % que IP, le % de fold IP sera B / (B + P) et pour OOP ça sera S0 P / (P + B). Sachant que S0 < 1 on a bien S1*< à B1*

Sur les sim avec le solver, on pourra retrouver ce concept

(Équation 9.4) : S1 = (B1 + B1*) / 2

B1 c’est la range de bet de OOP, et B1* c’est la range de call. Donc IP va bet avec toutes les mains que OOP à bet, plus la moitié des mains qu’il call.

(Équation 9.6) B1* = P / (P + B) (S0 – B1) + B1

Quand OOP check 100 % il va call P/ (B + P) des mains qui battent un bluff, mais ici la range de OOP a changé, car il a bet. Il s’est donc séparé d’une partie de sa range qui a bet.

Donc OOP va défendre P/ (B + P) des mains de sa range (ligne check) qui battent un bluff. Et comme on a une distribution 0.1 pour trouver le point B1* on rajoute B1.

Pour les autres seuils ils ont la même signification que ce de l’article 1

Jeu (0.1) n°2

Arbre du jeu

Les deux joueurs peuvent bet check et fold. Et IP peut raise.

Ce jeu étant plus complexe que les autres, je vais vous écrire les domaines en plus des seuils, pour que vous puissiez bien visualiser les ranges.

Domaine pour OOP

Bet call (value) = (0, B2*)
Bet fold (value) = (B2*, B1)
Check call = (B1, B1*)
Bet fold (bluff) = B0, 1

Domaine Pour IP ligne bet

Raise (value) = (0 S2)
Call = (S2, S1*)
Raise (bluff) = (S1*, S20)
Fold = (S20, 1)

Domaine Pour IP ligne check

Bet (value) = (0, S1)
Check = (S1, S0)
Bet (bluff) = (S0, 1)

Présentation nouveau seuil introduit

B2* = mains seuil indifférent entre bet call, et bet fold
S2 = mains seuil entre call vs bet ou raise vs bet
S20 = mains seuil entre fold, et raise bluff

Vous avez maintenant compris comment trouvez facilement les équations avec les matrices, je vais donc les écrire directement pour pas encombrer l’article., si vous avez des questions sur comment obtenir telle ou telle équation, vous pourrez toujours me le demander, je vous répondrai.

Rappel :

Alpha sans raise = B / (P + B) = α
Alpha avec raise = B / (P + 3 B) = α2

Solution du jeu :

(Comprendre comment obtenir les équations de la solution du jeu ne va vous servir à rien pour la compréhension de la théorie, mais je les mets quand même pour les plus curieux.)

Explication des équations

On a ici des équations qui sont les mêmes que ce du jeu précédant, leur signification ne va donc pas changer, on va donc se concentrer sur les nouvelles équations.

Équation 2.2 : S2 = B2* / 2
Ça veut dire que notre bottom de value va gagner ½ contre la range de call. Donc la règle du ½ ne change pas ici.

Si OOP avais le droit de raise on devrait value plus strong (j’avais joint un fichier ou j’introduite les
raise 3 bet 4 bet 5 bet … dans l’article 1.)

Équation 2.3 : B2* = (1 – B / (P + 3 B)) B1
B1 est la taille de la range de bet de OOP, et c’est cette range qu’il devra défendre VS un raise de IP.

Remarque qu’ici OOP ne défend pas P / (B + P), mais (1 – B / (P + 3 B), car on a maintenant dans le pot le bet de OOP, et le raise de IP (alpha 2 = B / (P + 3 B) car les size raise sont limitées pour simplifier les calculs, mais les principes restent les mêmes.)

Pour comprendre B1, regardons l’équation d’indifférence obtenue en sont point.

Équation 2.7 : S1* - S1 = (P + 1) (S20 – S1*) + (1 – S20)

Ça veut dire qu’en B1 on gagne de la valeur (1 bet) quand IP call des mains qu’il aurai check s’il le pouvait donc S1* - S1.

On perd le pot + un bet vs la range de raise bluff de IP : (P + 1) (S20 – S1*)

On gagne un bet vs la range de bet bluff de IP (après un check) (1 – S20)

Vous pouvez remarquer que la range de bet de IP n’est pas pris en compte ici, car on va avoir la même EV dans les deux lignes contre cette partie de range.

En effet si on bet et qu’il call on gagne une mise vs les mains que on bat, et on perd une mise vs les mains qui nous battent. Et si on bet c’est exactement la même chose. Ceci est vrais car OOP, et IP on tout deux les même sizing.

B1 = (1 - B / (B + P)) 2 / [1 + B / (B + P) + (2 - B / (B + P)) (1 - B / (3 B + P)) R]

R est un concept que j’ai introduit dans un document annexe à l’article 1, en gros c’est un ratio.

Pour les autres équations, il y’a aucun concept nouveau qui à étais introduit.

Jeu (0.1) n°3

Arbre du jeu

Les deux joueurs peuvent bet, call, fold, et raise.

Je ne vais pas écrire les équations complètes pour ce jeu, mais je vous mets un lien où le jeu a été résolu (la méthode de résolution est différente de celle utilisé dans cet article, mais je vous conseille de jeter un coup d’œil, c’est plutôt intéressant).

pm0.dvi (tomsferguson.com) Le jeu commence page 15/20

On a maintenant 3 seuils d’indifférences supplémentaires, soit 12 au total.

Pour les domaines de bluff, les concepts ne changent pas, ils vont toujours être égaux à alpha n du domaine value n

Le nouveau domaine de bluff introduit ici, est B20 - B1*.

Je n’en ai pas parlé, mais dans les domaines de bluff, on a des stratégie co-optimal. Ici on va juste bluff nos meilleur mains qu'on aurait fold, mais avec l’introduction des blockers il faudra prendre en compte d’autres paramètres.

IP aura maintenant une range de bet call, et bet fold, les concepts sont les mêmes que ce du jeu précédant.

Les domaines de value vont être impactés par le check raise, IP voudra moins bet, et si IP bet moins on a vu que les mains de la partie de la range IP de check back si check, et call si bet inciter OOP à bet pour leur prendre de la value, ici ce domaine sera plus grand. OOP devra check raise ses meilleures mains. Donc nos check raise, vont permette à OOP de récupérer plus de value en misant plus, nos check raise ne perdent évidemment pas de value à check, car IP va bet de façon à rendre indifférent le seuil (0.B2), indifférent entre bet ou check raise.

Si IP value moins que la stratégie GTO, alors les mains (0, B0) (B1 S1’) (B1*, B20) vont perde de l’EV, mais les combos de S1, à B1* vont gagner l’EV perdu par les checks raise. Si c’est le pourcentage de bluff de IP qui diminue, alors nos check raise vont encore perde de l’EV + (B1, B1*), mais c’est nos mains de B1* à S0 qui vont la regagner. Si le seuil de value bet augmente, donc que IP value plus faible, alors l’EV de nos check raise va augmenter, l’EV de nos mains entre S1, et B1* va diminuer, l’EV de nos bluffs va augmenter, car il va fold plus, l’EV de nos mains B1 à S1 va augmenter aussi

Je ne vais pas vous montrer les calculs pour trouver la valeur des différents jeux, pour pas alourdir l’article, mais vous pourrez la retrouver dans le lien que je vous ai donné.

Pour les exploitations, si vous avez compris l’équilibre du jeu, vous êtes donc en mesure de comprendre intuitivement quel seuil augmenter ou baisser en cas de déséquilibre d’un des deux joueurs.

Exemple avec tableau

La valeur qui dérive de l'optimal sera appelée prime (')

EV Δ (EV delta) est la différence entre le jeu optimal, et le jeu prime

Vous pouvez combiner plusieurs changements de seuil, par exemple

Jeu numéro 4 bluff catcher VS polarisé.

OOP à 100 % de bluff catcher, et IP à V value, et (1 – V) air

C’est le jeu le plus facile des 5, je vous conseille d’essayer de le résoudre tout seul, il est vraiment très facile.

Ici OOP ne va jamais bet, car il se ferait call que par mieux, et ferait fold pire, c’est donc une stratégie dominée, il va donc jouer en check call, et check fold, et IP va jouer en bet all in en équilibrant avec ses bluffs

L’idée de vous montrer ce jeu, c’est de trouver la valeur du jeu, et de la comparer aux autres jeus 0.1, pour que vous compreniez à quel point c’est terrible de se retrouver dans ce spot.

Stratégie de bluff catch

F = fold
EV bluff = EV check
P F – B (1-F) = 0
P F - B + BF = 0
F (P + B) = B
F = B / (P + B)
On retrouve ici notre équation alpha, OOP devra donc fold B / (P + B)

Stratégie de bluff
EV call = EV fold

(P + B) (1 – V) – P V = 0
V (P + B + P) = (P + B)
V = (P + B) / (P + B + P)

On a ici notre ratio de value bet, et comme vous pouvez le remarquer il faut bet V + (1 – V) B / (P + B) pour l’obtenir, soit encore une fois notre équation alpha.

Comparaison valeur des jeu 2 et 4

EV IP jeu 2 = - (1 - B / (P + B))[ (1 - B / (B + P))² (1 + 2 B / (B + P)) / (7 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) + 4)] - B
/ (P + B) 2 [(1 - B / (B + P)) ² (1 + 2 B / (B + P)) / (7 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) + 4)] ² + (1 + B / (P + B)) [(1 -
B / (B + P)) (8 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) +3) / (1 + B / (B + P)) (7 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) + 4) ] [(1 - B /
(B + P)) ² (1 + 2 B / (B + P)) / (7 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) + 4)] + (1 - a) [(1 - B / (B + P)) (8 B / (B + P) ² + 9
B / (B + P) +3) / (1 + B / (B + P)) (7 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) + 4) ] - (1 + B / (P + B))(2 - B / (P + B)) [(1 -
B / (B + P)) (8 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) +3) / (1 + B / (B + P)) (7 B / (B + P) ² + 9 B / (B + P) + 4) ] ² /2

EV IP jeu 2 = -(1 - a) S2 - a2 S2 ² + (1 + a) S1 S2 + (1 - a) S1 - (1 + a) (2 - a) S1 ² /2

EV IP jeu 4 = [V + V B / (P + B)] P

Exemple pour pot, et V = 40, S2 = 2/41, S1 = 76 / 246, a = 0.5µ

EV IP jeu 2 = -(1 – 0.5) (2/41) – 0.5 *2 (2/41) 2 + (1 + 0.5) (76 / 246) (2/41)² + (1 – 0.5) (76 / 246) - (1 + 0.5) (2 – 0.5) (76 / 246) ² /2 = 0.0429308

EV IP jeu 4 = (0.40 + 0.40 *0.5) * 1 = 0.6

C’est vraiment un spot catastrophique pour OOP d’être capped, c’est pour ça que le solver va en générale essayer d’avoir des traps dans tous les spots.

Jeu N° 5 AKQ arbre complet

Le dernier jeu est le jeu AKQ, il va nous donner des concepts sur le blocking bet.

Jeu AKQ (les 2 joueur on les même range : AsAd, KsKd, QsQd)

Les sizing des deux joueurs sont : 25,50,100,200,500 (en % du pot) (IP à un size de 54% du pot, et pas
50), et les raise c’est all in, 25% 50%, les 3 bet sont toujours all in.

Voici une rapide présentation des missions que chaque combo veut accomplir dans la range.
Mission des combo OOP

Les Q ont pour mission d'inciter les K adverses à call, augmentant ainsi l'EV des As.

Les K on plusieurs mission, de bluff catch, et d'augmenter la valeur des As.

Ils vont bluff catche que dans la ligne check bet call, dans la ligne bet raise, ils vont 100 % fold, car la mission des K dans cette ligne n'ai pas de rendre les Q indifférents à bet,

Ça sera les As qui ont cette mission, en 3 bets all in, on peut noter que dans cette ligne que OOP ne va jamais 3bet des Q, car IP raise qu'avec des A, est des Q, donc il se fera juste call par les A car on block les Q.

Comment les K peuvent augmenter la valeur des A, on a répondu à cette question en parti au-dessus, il augmente la valeur des As, car cela force IP à raise des Q en bluff, et donc les As de OOP récupèrent de l'EV sur les Q de vilain.

Si IP ne raise pas de Q, alors l'EV que les A ne gagne pas, c'est les K qui la gagnent, car quand les K check, ils ont pour EV la proba que IP check fois le pot (soit 0.64 / 2 * pot) = 3.2, et quand il bet il va perde 2.5 à chaque fois que IP à un A, soit 1/2, et il va gagner le pot le reste du temps, soit - 0.5 * 2.5 + 10 / 2 = 3.75, on peut donc voire que l'EV des K est augmenté.

Passons du coup à la mission des Q de IP, dans la ligne où OOP bet.

La mission des Q va être différente de ce que l'on a l'habitude de concevoir pour les bluffs, en effet d'habitude on dit qu'on bluff pour rendre indifférent les bluffs catcher de vilain à call or fold, ainsi on augmente l'EV des value hand (par exemple la mission des Q de OOP).

Ici les Q vont vouloir rendre indifférent les K de OOP à bet. Donc le ratio de bluff va être différent de alpha = B / (B + P)

Pour trouver le ratio, il faut récrire les EV des K de OOP, et des As, il faut rendre la ligne check bet avec K égale, et la ligne bet, et check raise avec les As.

Je vous épargne l’algèbre et vous donne directement le résultat

Fréquence raise bluff avec Q = ((0.5 (-S / (1 + S))) / 2 - √2 - 1) / ((1 + (2 - √2 - 1))

Maintenant passons à la 2ème mission des Q de IP, cette mission est simple, c'est de rendre les K de OOP indifférent à call or fold dans la ligne check.

Les K de IP ne vont jamais bet, ça n'aurait pour le coup aucun, sens étant donné qu'il à la position, ils vont donc avoir pour mission de rendre indifférent les Q de OOP indifférent à bet ou check.

Voici la stratégie de OOP

On voit que OOP fait quelle que chose d’assez peu intuitive si on n’a pas travaillé le spot, il va block bet des K, (les raisons sont expliquées au dessue), ce ne sont pas des bluffs, car OOP a besoin de 0.136 = (2.5 / 12.5) * 0.68 combo de bluff pour être équilibré, on voit que sa correspond au combo de Q, et les K ne font fold aucunes mains mieux.

Stratégie de IP face au bloque bet

Voici ce qui se passe si on force KK à check

Stratégie nood loock réaction IP face au check OOP

On peut voir que IP c’est mis à augmenter son sizing, et donc son nombre de bluff, ce qui baisse l’EV des K. Notre EV avec les K c’est la proba qu’il check * pot = 0.25 * 10 = 2.5

On pourrait de nouveau augmenter l’EV des K tout en checkant 100 % des K. Pour cela il suffit de baisser notre fréquence de bet avec les As, mais du coup ça sera les As qui vont perdre de la value.

Si par exemple on fait check les As 50 %, les Q 90 %, alors on empêche de nouveaux IP de nous bet pot, donc nos K ont de nouveau 3.2 d’EV, mais nos As ont moins d’EV :