Salut,
Il me semble que ton calcul d’EV est faux:
Si vous choisissez A+B, vous gagnez : 1001000 * (1-p) + 1000 * p
Mais il me semble que le vrai EV est 1’000’000*p + 1’000. Et du coup prendre la boite A+B aura toujours une meilleure EV que prendre uniquement B (si p > 0).
Intuitivement, étant donné que le predicator annonce son choix à l’avance, il ne sera pas influencé par notre décision et du coup il serait totalement irrationnel de refuser les 1’000 supplémentaire de la boîte A car ca n’influencera pas le contenu de la boîte B.
Salut.
p désigne la probabilité que la prédiction soit juste. A priori pas d’erreur dans ma formule.
Si tu prends les deux boîtes, tu gagnes 1001000 avec une proba de (1-p). Car ça signifie qu’il s’est trompé. Or p est élevé…
D’ailleurs en vrai il devrait y avoir deux p l’un pour les “faux positifs” l’autre pour les “faux négatifs” mais on peut imaginer qu’ils aient la même valeur.
A ouais, j’avais mal compris tes equations, mais intuitivement regarder la probabilité que le predicator a raison n’a un sens que si t’as décision influence le choix du prédicateur. Ce qui n’est évidement pas le cas.
Du coup le seul choix intelligent possible est de prendre les 2 boites
Salut,
Imo tout dépend si tu crois possible que le Predicteur ait une quelconque réelle façon de voir l’avenir (réel don de voyance).
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Si c’est sûr à 100% que NON, que tu vis dans un monde rationnel et que tu SAIS que ton choix futur ne va pas influer sur le contenu des boîtes, il faut prendre les 2 obv. (Raisonnement de dominance stratégique et du fait que ton pote qui voit les boîtes te conseille de prendre les 2 boîtes)
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Si tu penses que ton choix peut influer le contenu des boîtes…
Le Prédicteur “voit” vraiment l’avenir et ton choix FUTUR peut donc avoir une incidence sur sa prediction, et donc le contenu de B.
Ce qui peut sembler irrationnel mais pas forcément tant que ça dans le contexte, car DEJA l’existence d’un Prédicteur qui connait ton choix à l’avance peut déjà être vu comme ‘irrationnelle’.
Donc si tu penses que ton choix peut influer, ne serait-ce qu’avec une proba infime, le contenu des boîtes, il vaut mieux prendre la B.
A plus
Je pense que personne ne croit que son choix peut faire apparaître ou disparaître le million, la question est plus celle du libre arbitre.
Si tu décides de prendre les deux boîtes à l’instant t, c’est qu’à l’instant t-1, tu étais dans un état causant cet effet (un certain réseau de tes neurones s’est allumé, entraînant ensuite via les nerfs une réponse musculaire etc…). Et à l’instant t-2, idem. On remonte ainsi jusqu’au moment de la prédiction. Donc si tu prends les deux boîtes, c’est que au moment de la prédiction, tu étais déjà “le genre de mec à prendre les deux boîtes” et le Prédicteur l’aurait deviné. Et réciproquement si tu prends que la boîte B. Le meilleur choix donc, en tous cas d’après cet argument.
Pour démystifier “le Prédicteur”, on peut imaginer que tu fais face à un comité composé de joueurs de poker livetards comme Negreanu et Kitai, de psys comme Paul Ekmann (le père des tells), de mentalistes comme Darren Brown, etc.
Ils t’expliquent les règles et te demandent ce que tu comptes faire, avant d’établir leur prédiction et de mettre le million, ou pas.
Tu sais que, vu leur niveau en lecture, ta seule chance d’avoir le million est de réellement vouloir prendre que la boîte B quand tu leur dis, sinon ils le verront. Mais tu sais aussi que une fois le million déposé ou non, il vaut mieux prendre les deux.
Peux-tu réellement vouloir prendre que la boîte B, tout en voulant changer d’avis plus tard ? Si on répond non à cette question, alors il vaut mieux prendre que la boîte B…
Salut,
Pour ma part, si la prédiction est au pif alors bien-sur mathématiquement il vaut mieux prendre A+B mais si on estime que le fait de choisir B influence le prédicateur (c’est pour ça qu’il y a un paradoxe car on estime quelque chose qui n’existe/n’est pas prouvé, le fait que notre choix influence le prédicateur, ce qui est le postulat de départ alors il faut choisir B.
Maintenant imaginons que la boite A contienne 1 million et la boite B 1 milliard ou zéro avec les mêmes règles du jeu alors il vaut mieux prendre la boite A car cela nous assure 1 million.
On pourrait d’ailleurs se poser la question à partir de quel montant dans la boite A on ne fait plus confiance au prédicateur, ce serait assez drôle, voir jusqu’à quel point on fait confiance à l’irrationnel et notre rapport à l’argent suivant la somme…
Bonjour,
article intéressant néanmoins je trouve qu’il y a des imprécisions et de mauvaises analogies.
En fait le débat reste peut-être ouvert coté philosophique mais je ne vois pas ce qui diviserait encore mathématiciens et joueurs de poker (pour comprendre le paradoxe et pas pour faire son choix bien sûr).
Le paradoxe est introduit par l’énoncé lui-même.
Les deux raisonnements vont s’appuyer sur l’une ou l’autre de ces phrases qui sont contradictoires pour établir un raisonnement logique.
Dans un cas, le prédicateur fait mieux que le hasard et décisions / prédictions sont liées par un moyen qui nous questionne sur le libre arbitre mais qui n’est pas à débattre dans le choix du bénéfice maximal.
Dans l’autre, il n’y a pas de lien entre la prédiction et le choix, le raisonnement pour avoir le bénéfice maximal sera différent.
A noter que pour moi il s’agit d’un calcul d’espérance de gain dans les deux approches mais basé sur des hypothèses différentes.
Remarque : les boites A et B sont inversées dans l’article Wikipédia.
A noter également que l’espérance de gain, c’est sur le long terme et qu’ici il n’y aura qu’un tirage, ce qui peut aussi influencer le choix stratégique (paradoxe Lara Fabian : Poker is war - #75 par PokerisWar 
).
On pourrait discuter du paradoxe de causalité inversée ou de la notion de libre arbitre …
… mais cela nous éloignerait de la question mathématique / pokéristique du choix du mode de calcul pour maximiser le bénéfice.
Suivant la partie de l’énoncé que l’on va choisir comme valide (en écartant le paradoxe logique de l’autre partie de l’énoncé), on va choisir l’une ou l’autre méthode de calcul pour maximiser son espérance de gain.
Remarque sur l’analogie.
Je ne suis pas sûr que cette situation soit comparable avec le paradoxe.
D’abord, il y a un raccourci dans la description de la situation puisqu’il s’agit probablement d’une situation de bet pour value (Hero a 50%+ d’équité).
Sinon le bet peut être supérieur au check en fonction de la FE.
Mais surtout …
Non on voit que EV(bet)< EV(check) : estimation de la maximisation de l’EV entre le bet et le check.
La stratégie est : « si Hero a 50%+ d’équité (river dernier de parole), il ne doit bet que s’il n’est payé que par moins bien ».
Cette stratégie est supérieure à « Hero bet s’il a la meilleure main ».
Voir l’article de @Freudinou par exemple : (Article technique) : Les secrets du Value Bet
Et il ne s’agit que de comparaison de différentes stratégies pour le même joueur, pas vis à vis de stratégies de l’autre joueur.
Je ne pense pas que l’on peut parler de stratégie dominante : certes avec cette stratégie (sous réserve que la condition soit vérifiée), Villain peut difficilement contrer (/ exploiter) Hero sauf s’il raise et que Hero couche systématiquement 
De même, par définition, il ne s’agit pas réellement de stratégie dominante dans le paradoxe de Newcombe puisqu’il ne s’agit pas d’un jeu à somme nulle (Hero ne peut pas perdre et le prédicateur ne peut ni gagner ni perdre).
Merci pour les contributions intéressantes.
Sur l’utilité de l’argent : je ne voulais pas alourdir l’article car on s’en fiche un peu de savoir si on est 1000 fois plus content de gagner 1M que 1k ou seulement 100 fois plus content… Mais effectivement le jeu serait bien différent à 1M / 1Md
J’ai d’ailleurs écrit des articles sur la fonction d’utilité de l’argent : Sur le long terme… on est tous morts. Pourquoi vous n’avez pas envie de maximiser vos gains sur le long terme. et
Pourquoi les gens jouent mal au poker (qui parle entre autres du paradoxe d’Allais )
Sur la comparaison avec le check back river : j’ai peut-être commis un raccourci car je pensais être clair pour tout le monde mais on est exactement dans l’exemple donné par Freudinou (très bon article d’ailleurs !) : 77 sur AA772 vs l’homme le plus nitty du monde qui paie que avec AA. River il faut check back.
A noter qu’on considère là l’adversaire comme un automate qui va juste fold ou call selon sa main, il s’agit donc plus d’un jeu à un seul joueur (au sens de la théorie des jeux) que d’un jeu à deux joueurs. D’où le parallèle avec le paradoxe de Newcomb.
Je ne vois aucunement en quoi les deux phrases
"La seule chose qui importe est que vous avez confiance en sa capacité à prédire avec une grande précision vos choix,
Pour que ça soit bien clair, le contenu de la boîte B a été déterminé avant votre choix"
seraient contradictoires.
Je vous invite à relire la version du paradoxe que j’ai donnée plus haut avec le comité d’experts.
Merci pour ton retour.
Oui j’ai lu tes articles précédents que j’ai aussi apprécié 
Le problème de Newcomb a plusieurs énoncés qui diminuent le paradoxe.
Dans l’énoncé de l’article, il est dit que l’on a “confiance en sa capacité à prédire avec une grande précision vos choix”.
Ce n’est pas très factuel mais cela signifie que sa prédiction est au moins supérieure au hasard et très probablement beaucoup mieux (du moins c’est ce que va considérer comme “hypothèse raisonnable” le premier groupe).
Le raisonnement ici est donc que la prédiction et le choix sont liés autrement que par l’effet du hasard.
La prédiction et le choix doivent être reliés même si c’est par une logique de causalité inversée.
C’est exactement ce que tu décris avec le comité d’expert.
Mais si la prédiction a été établie sans aucun lien (notamment temporel) avec le choix , elle ne peut pas être meilleure que l’effet du hasard (du moins, c’est ce que va considérer comme “hypothèse raisonnable” l’autre groupe).
Voilà en quoi les deux phrases sont contradictoires (ou au moins leurs interprétations).
Pour que ça soit bien clair, le “a été” devrait être remplacé par “le prédicateur a déterminé le contenu de la boite B avant votre choix et sans aucun moyen de le prédire”, ce qui ferait apparaitre la contradiction avec le début de l’énoncé
Le choix des deux groupes va se répartir en fonction de l’interprétation de l’énoncé en s’appuyant sur la partie qui correspond le plus à leur croyance et non pas uniquement en raisonnant en logique mathématique.
D’ailleurs, il est amusant que tu termines l’article par le choix de remettre ton choix au hasard, ce qui … te rend ton libre arbitre en annulant la capacité du prédicateur à deviner ton choix et influencer ta décision : il ne peut que choisir au hasard ce qu’il met dans la boite B
Par un randomizer, tu as le réflexe de choisir une stratégie non exploitable. Ceci dit, tu ne joues pas contre le prédicateur … mais peut-être un peu trop au poker 
Bonsoir,
A la relecture approfondie des opinions argumentées présentées ici, et après étude documentée de la problématique concomittente, il me parait assez évident mes chers cons-frères, que nous sommes bel et bien en présence d’un cas avéré de branlette intellectuelle dont l’intérêt est voisin de celui de l’examen de mes selles ce matin après une soirée raclette bien trop arrosée.
En un mot comme en 3 (4 si on considère que la contraction pronominale est un mot) : on s’en branle.
Merci de votre attention.