Independent Chip Model

• 14 mars 2013
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Alors qu’en cash game un jeton est égal à sa valeur en euros, ce n’est généralement pas le cas en tournoi. Cela peut avoir d’importantes implications sur la stratégie à adopter. Bien souvent, une ligne de jeu correcte en cash game peut devenir mauvaise en tournoi.

L’objectif d’un tournoi n’est pas d’amasser le maximum de jetons, mais bien de remporter le plus d’argent. Alors qu’en cash game un jeton est égal à sa valeur en euros, ce n’est généralement pas le cas en tournoi. Cela peut avoir d’importantes implications sur la stratégie à adopter. Bien souvent, une ligne de jeu correcte en cash game peut devenir mauvaise en tournoi.

Fort heureusement, de nombreux modèles ont été élaborés pour calculer l’équité relative aux différents prix en fonction de la taille des tapis des joueurs encore en lice. Nous allons vous présenter dans cet article le plus populaire d’entre eux : l’Independent Chip Model ou ICM.

I. L’équité en jetons et en prix est différente en tournoi

Un moyen intuitif d’estimer votre équité en euros dans un tournoi consiste à multiplier l’ensemble du prizepool1 par le pourcentage de jetons que vous possédez à cet instant. Si par exemple le prizepool est de 10K€ et que vous détenez 20% de l’ensemble des jetons en jeu, votre équité est de 2K€. Bien que cette estimation fonctionne assez bien dans les premiers niveaux des tournois ayant une distribution initiale des jetons et une structure de paiement classiques, elle devient erronée en fin de tournoi. L’exemple suivant va vous démontrer radicalement que votre équité en euros calculée à l’aide de cette méthode du « pourcentage de jetons » est parfois très éloignée de votre équité réelle. Vous venez de commencer un tournoi Double-or-Nothing (DON)2 à 100€, avec 10 joueurs et 1000 jetons au départ. Dans ce DON, les 5 derniers joueurs en courses vont empocher 200€, tandis que les 5 premiers éliminés n’auront rien.

Vous avez réussi à vous hisser jusqu’à la bulle de ce DON, malheureusement, il ne vous reste qu’un seul jeton. Un de vos adversaires possède également 1 unique jeton, et les 4 autres ont devant eux un tapis d’environ 2500 jetons. Il parait assez évident que ces 4 joueurs avec d’énormes tapis sont quasiment assurés de finir dans les 5 premiers et d’empocher les 200€. Néanmoins, il reste une 5ème place payée à 200€ qui reviendra soit à vous, soit à votre adversaire. Et comme vous disposez de tapis équivalents, vous devriez jouir de la même équité. Vous avez ici chacun 50% de chance d’atteindre les places payées, donc votre équité en prix est de 100€. Bien que vous ne possédiez que 0.01% de l’ensemble des jetons en jeu, vous bénéficiez quand même de 100€ d’équité en prix, soit 10% du prizepool total.

II. Présentation du modèle ICM

L’ICM vous permet de calculer votre équité en euros en fonction du prize pool. C’est un modèle itératif, qu’il est plus facile d’expliquer par un exemple. Nous ne nous intéresserons pas à la théorie sur laquelle repose ce modèle (car elle est relativement complexe), mais illustrerons plutôt sont fonctionnement logique et le moyen de générer les résultats.

a. La situation

Il y a 4 joueurs A, B, C et D encore en course dans le tournoi, avec des tapis respectifs de 5000, 2500, 1500 et 1000 en jetons. Le gagnant de ce tournoi remporte 50€, le second 30€, et le 3ème 20€.

b. 1ère étape : calculer les probabilités de gagner le tournoi

La première hypothèse sur laquelle repose l’ICM est que la probabilité pour un joueur de remporter le tournoi est égale au pourcentage du total des jetons qu’il détient. Ainsi, dans notre exemple, le joueur A possède 50% de chance de terminer à la 1ère place, B 30%, C 15%, et D 10%.

c. 2ème étape : calculer la probabilité de terminer en seconde place

Cette seconde étape est bien plus complexe. Intéressons-nous à la probabilité que le joueur A finisse en 2ème place. Notre modèle ICM considère que cette probabilité est la somme pondérée des probabilités que les joueurs B, C et D terminent premiers. Cette probabilité conditionnelle est égale à la fraction des jetons que le joueur A possède, sans tenir compte des jetons que détient le vainqueur.

Le joueur B a 25% de chance de terminer 1er. Si c’est le cas, le joueur A possédera 5000 jetons des 7500 du total à considérer (10 000 au total – 2500 du joueur B). Le joueur A finira donc en seconde position 66.67% du temps (5000/7500) dans ce cas de figure.

Si le joueur C finit premier (ce qui arrivera 15% du temps), le joueur A possédera 5000 jetons sur les 8500 encore en jeu (10 000 – 1500 du joueur C), soit 58.82% de chance de finir second dans ce scénario.

Si le joueur D termine premier (ce qui arrivera 10% du temps), le joueur A possédera 5000 jetons sur les 9000 encore en jeu (10 000 – 1000 du joueur D), soit 55.56% de chance de terminer second dans ce scénario.

Au final, la probabilité que le joueur A finisse second sera donc : 25% * 66.67% + 15% * 58.82% + 10% * 55.56% = 31.05%

Si nous notons A1 la probabilité que le joueur A termine premier, A2, la probabilité qu’il finisse second, etc., la formule deviendra alors : P(A2) = p(A2/B1) * p(B1) + p(A2/C1) * p(C1) + p(A2/D1) * p(D1).

Nous utilisons une formule similaire pour parvenir à la conclusion que les joueurs B, C et D ont respectivement 32.19%, 21.67% et 15.10% de chances de finir second.

d. 3ème étape : terminer en 3ème place

Bien que le principe soit exactement le même qu’à l’étape 2, les calculs se complexifient rapidement, car nous devons prendre en compte l’ensemble des scénarios pour les places 1 et 2. Par exemple, la probabilité que le joueur 1 termine en 3ème place devient : P(A3) = p(A3 / B1 et C2) * p(B1 et C2) + p(A3 / B1 et D2) * p(B1 et D2) + p(A3 / C1 et B2) * p(C1 et B2) + p(A3 / C1 et D2) * p(C1 et D2) + p(A3 / D1 et B2) * p(D1 et B2) + p(A3 / D1 et C2) * p(D1 et C2)

Si vous trouvez cette formule indigeste, gardez bien à l’esprit qu’une expression comme p(B1 et C2) doit être calculée sous la forme p(C2 / B1) * p(B1), ce qui rend cette formule encore plus horrible.

D’après cette formule, les joueurs A, B, C et D ont respectivement 14.83%, 27.88%, 32.24% et 25.04% de chance de finir en 3ème place.

e. 4ème étape : convertir les résultats en équité en euros

Comme nous venons de calculer pour chaque joueur la probabilité de finir à chaque place payée, nous pouvons déterminer l’équité en euros de chacun de ces joueurs en multipliant les probabilités obtenues précédemment par les gains correspondant à chacune des places payées.

En détaillant le calcul pour le joueur A, nous obtenons:

• Equité A = 50% * 50€ + 31.05% * 30€ + 14.83% * 20€ = 37.28€.

De la même façon, nous obtenons :

• Equité B = 27.73€
• Equité C = 20.45€
• Equité D = 14.54€

III. Conclusion

L’ICM est un modèle dont l’objectif est de transformer le montant d’un tapis en équité en euros en fonction de la répartition des prix d’un tournoi donné. En début de tournoi, avec une structure de paiement et des profondeurs de tapis qui n’ont encore que peu d’impact sur le jeu, votre équité en euros sera proche du prize pool total multiplié par le pourcentage des jetons en jeu que vous possédez. En avançant dans le tournoi, cette formule générera des résultats grossièrement faux. C’est à ce moment que la maitrise de l’ICM devient particulièrement précieuse. Dans des articles à venir, nous étudierons des applications pratiques de l’ICM.

Traduit de l'anglais par TicEtTac