Introduction
Par définition lorsqu’un move est EV+ c’est qu’il nous rapporte de l’argent sur le long terme. Il semble donc clair qu’un joueur va toujours choisir le move qu’il considère le plus EV+. Cependant un joueur peut préférer un move moins profitable dans certains cas.
Un exemple typique est lorsque l’on a gagné un tiquet pour un gros tournois et que l’on préfère assurer une place dans l’argent plutot que de prendre des risques pour jouer la victoire. C’est un choix tout à fait acceptable lorsque le montant du prix que l’on veux assurer est important par rapport à notre bankroll.
Mais si le joueur est un joueur professionnel jouant de nombreux tournois, son intérêt est de maximiser ses gains sur le long terme. Il n’a alors a priori aucune raison de ne pas effectuer le move le plus EV+.
Pourtant on voit parfois certains de ces joueurs, face à une situation légèrement EV+ en tournois, préférer jeter leur main parce qu’ils pensent avoir un edge.
Dans cet article nous allons tenter de voir si cela peut se justifier mathématiquement.
Modelisation sur un sit n go
Sur Sit’n go wizzard un des paramètres est “l’edge”.
Cela se présente comme cela:
Wizard nous indique:
Notre équité si on Push EqP% (10.57)
Notre équité si on fold EqF% (10.43)
EqP>EqF donc je dois call sauf que le paramètre edge intervient 0.26.
Comme la différence entre l’équité du push et celle du fold (10.57-10.43) est inférieur à l’edge sit n go wizard nous conseille de fold.
Par défaut la modélisation de l’edge de sit n go wizard ne correspond cependant pas à la supériorité (positive ou négative) que nous avons par rapport aux autres joueurs. Elle est calculée en fonction de notre position par rapport à la BB (notre edge diminue si on doit payer la BB la main suivante) et la taille de notre tapis (edge plus grand quand on a un gros tapis).
Il s’agit donc d’un edge conjoncturel (edge du à notre situation dans le sit n go à l’instante t) et non structurel (edge du à notre niveau). Ici on va s’interesser plutot à l’edge structurel même si au final les 2 edges devraient s’additionner.
Comment exprimer notre edge?
Dans mon exemple on est en DON.
Mettons que je gagne 60% de mes DONs. Si je n’avais pas d’edge je gagnerais 50%.
Donc je serais tenté d’exprimer mon edge sous forme d’un ratio: 60/50=1.2 que j’appliquerais à mon équité sans edge calculée avec l’ICM. J’appelle cela le “Edge Factor” EF.
Donc si l’ICM me calcul une équité Eq j’en déduis que mon équité réel est plutot Eq x EF
Maintenant si l’on suit le processus de sit n go wizard :
SGW calcule l’équité du Fold EqF ==> J’applique le facteur edge j’obtiens EqF’=(EqFxEF)
SGW calcule l’équité du push EqP
Pour cela il calcul
- Pw la probabilité de gagner le pot au showdown
- Mon équité si je gagne le coup EqW (équité ICM) que je remplace par l’équité avec prise en compte de l’edge EqW’=(EqWxEF)
- Mon équité si je perd le coup EqL (équité ICM) que je remplace par l’équité avec prise en compte de l’edge EqL’=(EqLxEF)
Finalement je dois push si EqF’< Pw x EqW’ + (1-Pw) x EqL’
soit EFxEqF< Pw x EF x EqW + (1-Pw) x EF x EqL (2)
==> Je peux tout diviser par EF
==> EqF< Pw x EqW + (1-Pw) x EqL
Donc l’edge n’intervient pas!!
Mais tout cela n’est pas correct car la définition du facteur edge n’est pas cohérente.
Supposons que je joue un DON, et que l’ICM me donne une équité de 90%
==> 90x1.2=108% absurde car je ne peux pas gagner plus de 100% de mon buyin.
En fait le facteur edge est une fonction qui dépend de la taille de mon stack et des stacks des autres c’est à dire de mon équité ICM. C’est à dire que notre edge ne va pas jouer autant si j’ai beaucoup (ou très peu) de jeton ou si j’ai un stack moyen.
Par exemple, si j’ai 99% des jetons de la table que mon ROI soit de 15% ou de 0% j’ai a peu près la même équité dans les 2 cas (proche de 100%). De même si je n’ai plus qu’un jeton, même si je suis le meilleur joueur du monde, c’est avant tout la chance qui peut me permettre de gagner le tournois.
On peut donc exprimer l’edge factor sous la forme suivante:
EF=f(Eq) avec Eq l’équité ICM.
Si je reprend la formule (2)
f(EqF) x EqF < Pw x f(EqW) x EqW + (1-Pw) x f(EqL) x EqL
Supposons EqL=0 (c.a.d vilain me couvre)
f(EqF) x EqF < Pw x f(EqW) x EqW
Maintenant il faudrait connaitre f(Eq). Ca parait pas simple mais on peut donner quelques caractéristiques de façon intuitive:
- C’est une fonction continue: Si je gagne 1 jetons mon EF ne va pas soudainement augmenter ou baisser
f(Eq)=f(Eq+1)+Epsilon avec Epsilon très petit - f(Eq) tend vers 1 quand Eq tend vers 0: Si je n’ai plus de jeton j’ai perdu quelque soit mon edge.
- f(Eq) tend vers 1 quand Eq tend vers 100%: Si j’ai tous les jetons j’ai gagné quelque soit mon edge.
- Si je fini ITM 60% du temps alors f(50)=60/50
A part ça je ne sais pas dire quelle forme a la courbe. Elle dépend du profil du joueur.
Si je reste sur l’exemple du DON, Entre 2 joueurs avec le même ROI il peut y en avoir un qui gère mieux la situation lorsqu’il est short et l’autre qui gère mieux la situation lorsqu’il double dans les 1er niveaux.
Pour définir sa courbe f(Eq) il faudrait par exemple faire une étude statistique basée sur ces HH.
Mais si l’on reprend à nouveau la formule et le problème de départ
f(EqF) x EqF < Pw x f(EqW) x EqW
Pour justifier qu’il faut fold alors que EqF est légèrement inférieure à Pw x EqW il faut supposer que f(EqF)>f(EqW).
D’après les caractérisques de la courbe citée plus haut on peut facilement imaginer que la courbe ait une forme de cloche (parabole ou autre) avec un Max pour f(50). Par ex.
Dans ce cas là f(EqF)>f(EqW) si EqF est proche de 50% mais si EqF est suffisamment faible ou grand on aura f(EqF)<f(EqW) (par exemple si je suis SS il est possible qu’en doublant mon équité revienne à 50 et on a supposé que f(50) était le max de la courbe).
Conclusion:
Avec ce modèle je peux folder bien que mon équité ICM en cas de push est plus grande que mon équité en cas de fold seulement si mon équité en cas de fold est suffisamment proche de 50%.
Mais si elle est trop petite (ou trop grande) c’est le contraire et mon edge doit plutot m’insiter à caller (un peu) plus light.
Tout cela pouvant être remis en question si l’on fait des hypothèses différentes sur la forme de la courbe.
En tout cas cet article montre que si l’edge peut effectivement modifier le caractère EV+ d’une décision, il est loins d’être évident de savoir quand c’est le cas, dans quel sens et à quel point.