Quantifié la variance

sixsicksix · Juin 28, 2013, 11:44

Hello PA , en ce moment je lis poker math sup , il introduit le concept de variance , qui est, la déviation a la moyenne ( espérance de gain) attendu en fonctions nombre d’essais.J’aimerais calculé la variance a lequel je peut m’attendre en fonctions de ma moyenne Y , et de mon sample n.

bien sur il donne une équation pour quantifié cette variance, ce qui m’amène vers vous.

La déviation a la moyenne d’un évènement P , détenant une probabilité Pi , et une valeur ( euro) Xi avec une moyenne de gain Y est egal a :

V§ = Somme -> Pi(Xi-Y)^2
(on part de i=1 a n)

Pour Y , j’ai utilisé sharkscope qui me donne mon gain moyen par mtt = 6.56e pour 10.08e de mise moyenne.
Pi=1/n mais étant donné que la variance est additive , je vais ensuite multiplié V§ par n pour avoir la variance sur n mtt , donc Pi=1.

maintenant , il faut que je quantifie Xi , mon problème est que j’ai surement pas assez compris pour tranché la valeur de Xi entre 10.08 qui est ma mise moyenne par mtt , et 10.08 + 6.56 qui est le résulta moyen en euro d’1 mtt.

si quelqu’un peut vérifié mon raisonnement , et si possible définir Xi et m’expliqué pourquoi un résulta plutôt que l’autre.et de plus si possible , interprété les résulta , car pour l’instant dans poker math sup il ne développe pas trop l’interprétation des résulta de la variance qui est quantifié en espérance carré par évènement carré.

Merci

fab12 · Juin 28, 2013, 1:09

La formule Pi(Xi-Y)^2 te donne la variance de la variable X. Tu peux choisir ce que tu veux comme variable X et notamment:

Le gain moyen en € pour chaque tournois
Le ROI moyen pour chaque tournois.

Il faut tout d’abord que tu choisisses quelle variable t’interesse.

Là tu sembles être parti pour chosir le gain en €. Alors Y=6.56 et Xi=“le gain net en €”. Donc Xi=-1 buyin quand tu perds et Xi=Le gain - 1 buyin quand tu gagnes.

Le but est de mesurer l’écart moyen par rapport à la moyenne. Si tu perds un tournois à 10€ cette écart est bien 10-6.56 Si tu termines à une place qui rapporte 30€ sur un tournois cet écart sera (30-10)-6.56

Si tu joues des tournois à des buyin différents il semble plus approprié de calculer la variance du ROI. Sinon cela va à mon avis mécaniquement impacter la variance. En effet si tu fais des tournois entre 10 et 100€ et que ton gain moyen est 6.56 alors dès que tu fais un tournois à 100€ tu auras un gain net soit de -100€ si tu perds ou +100 si tu fini ITM. ==> l’écart par rapport à la moyenne sera forcemment grand pour ces tournois.

Donc je pense qu’il faut mieux calculer la variance en ROI (et/ou la calculer par buyin plus ou moins équivalent).

Le ROI moyen est donné sur Sharkscope.

Tu as alors Xi=(Gain net)/(buyin)

Un autre point: Tu dis que obtenir la variance sur n tournois il faut multiplier par n. C’est vrai si tu veux calculer la variance de ton gain total sur n tournois.

V(Gtotal)=V(G1+G2+…+Gn) Gi = Gain du tournois i V(Gn)=V(G1)+V(G2)+…+V(Gn)=n*V(G1) car V(G1)=V(G2)=…=V(Gn)

Mais ce qui t’interesse est plutot la variance de ton gain moyen (ou ROI moyen) sur n tournois je pense.

Dans ce cas là il ne faut pas multiplié par n mais divisé par n car:

V(Gain moyen sur n tournois)=V(1/n* (G1+G2+…+Gn)) Or V(a x X)=a^2 x V(x)

==>V(Gain moyen sur n tournois)=(1/n)^2 x V(G1+G2+…+Gn) = (1/n)^2 x n x V(G1) = 1/n x V(G1)

La variance de ton gain moyen diminue avec le nombre de tournois mais la variance de ton gain total augmente avec le nombre de tournois.

La question est maintenant: Que comptes tu faire de cette variance?

mycki59 · Juin 28, 2013, 1:24

putin vous m avez foutu un mal de crane !!!lol :blink: :woohoo:

sixsicksix · Juin 28, 2013, 4:21

[quote=“fab12, post:612869”]La formule Pi(Xi-Y)^2 te donne la variance de la variable X. Tu peux choisir ce que tu veux comme variable X et notamment:

Le gain moyen en € pour chaque tournois
Le ROI moyen pour chaque tournois.

Il faut tout d’abord que tu choisisses quelle variable t’interesse.

Là tu sembles être parti pour chosir le gain en €. Alors Y=6.56 et Xi=“le gain net en €”. Donc Xi=-1 buyin quand tu perds et Xi=Le gain - 1 buyin quand tu gagnes.

Le but est de mesurer l’écart moyen par rapport à la moyenne. Si tu perds un tournois à 10€ cette écart est bien 10-6.56 Si tu termines à une place qui rapporte 30€ sur un tournois cet écart sera (30-10)-6.56

Si tu joues des tournois à des buyin différents il semble plus approprié de calculer la variance du ROI. Sinon cela va à mon avis mécaniquement impacter la variance. En effet si tu fais des tournois entre 10 et 100€ et que ton gain moyen est 6.56 alors dès que tu fais un tournois à 100€ tu auras un gain net soit de -100€ si tu perds ou +100 si tu fini ITM. ==> l’écart par rapport à la moyenne sera forcemment grand pour ces tournois.

Donc je pense qu’il faut mieux calculer la variance en ROI (et/ou la calculer par buyin plus ou moins équivalent).

Le ROI moyen est donné sur Sharkscope.

Tu as alors Xi=(Gain net)/(buyin)

Un autre point: Tu dis que obtenir la variance sur n tournois il faut multiplier par n. C’est vrai si tu veux calculer la variance de ton gain total sur n tournois.

V(Gtotal)=V(G1+G2+…+Gn) Gi = Gain du tournois i V(Gn)=V(G1)+V(G2)+…+V(Gn)=n*V(G1) car V(G1)=V(G2)=…=V(Gn)

Mais ce qui t’interesse est plutot la variance de ton gain moyen (ou ROI moyen) sur n tournois je pense.

Dans ce cas là il ne faut pas multiplié par n mais divisé par n car:

V(Gain moyen sur n tournois)=V(1/n* (G1+G2+…+Gn)) Or V(a x X)=a^2 x V(x)

==>V(Gain moyen sur n tournois)=(1/n)^2 x V(G1+G2+…+Gn) = (1/n)^2 x n x V(G1) = 1/n x V(G1)

La variance de ton gain moyen diminue avec le nombre de tournois mais la variance de ton gain total augmente avec le nombre de tournois.

La question est maintenant: Que comptes tu faire de cette variance?[/quote]

Gros merci Fab , je regarde sa

sixsicksix · Juin 28, 2013, 5:19

Vraiment grand merci fab , tres clair , effectivement j’avais pas bien intégré que la formule donné la variance de la variable X , et de ce faite j’ai pas fait la différence entre gain total et gain moyen , beaucoup plus clair pour moi maintenant.

Sinon , il y a juste le passage ou tu démontre que pour obtenir la variance du gain moyen on divise par n.

j’ai pas bien compris l’équivalence qui fait sortir le (1/n)^2 par V(a x X) = a^2 + v(x) , tu peut développé cette égalité stp?

Sinon une petit question au passage , j’arrive a “comprendre” Pi(Xi-Y) , mais connais tu la raison de l’élévation au carré ?

Sinon pour repondre a ta question , de base c’était pour voir si j’avais compris un minimum , et aussi pour comparé la variance que je peut attendre sur quelques années de jeux en jouant n tournois par jours. en considérant que ma moyenne reste la même.Au final joué un peut avec la formule ^^

Edit : Reste pas loin , il me reste beaucoup de chose a voir avant la fin du bouquin

fab12 · Juin 28, 2013, 6:06

[quote=“sixsicksix, post:612964”]Vraiment grand merci fab , tres clair , effectivement j’avais pas bien intégré que la formule donné la variance de la variable X , et de ce faite j’ai pas fait la différence entre gain total et gain moyen , beaucoup plus clair pour moi maintenant.

Sinon , il y a juste le passage ou tu démontre que pour obtenir la variance du gain moyen on divise par n.

j’ai pas bien compris l’équivalence qui fait sortir le (1/n)^2 par V(a x X) = a^2 + v(x) , tu peut développé cette égalité stp?
[/quote]

C’est une propriété de la variance.
Si a est un nombre réel quelconque alors V(a x X) = a^2 x V(X)

Pour le démontrer suffit de revenir à la définition

V(X) = Somme -> Pi(Xi-Y)^2
V(a x X) = Somme -> Pi((a x Xi)-(a x Y))^2
= Somme -> Pi((a x (Xi-Y))^2)
= Somme -> a^2 x (Pi(Xi-Y)^2)
= a^2 x V(X)

Je ne sais pas si c’est la seule raison mais cela permet de ne pas avoir de valeur négative quand Xi<Y.
Si on imagine que la V(X)=Pi x (Xi-Y).

Alors si tu gagnes 10€ sur un tournois à 10€ et perd un autre tournois à 10€ tu aurais

Y=0
et V(X)=1/2 x (10-0)+1/2 x (0-10)=0

Tu aurais une variance nulle alors que le but de la variance est de mesuré à quelle point la variable X s’éloigne de sa valeur moyenne.
Qu’elle soit au dessus ou en dessous ne change rien à la variance, ce qui compte c’est la différence en valeur absolue.

Après j’imagine qu’on aurait pu dire V(X) = Pi x Abs(Xi-Y)

On serait juste arrivé à d’autres valeurs et propriétés.
Mais peut être qu’il y a d’autres raisons aussi.

Pour info cela rejoint aussi la formule de la distance que l’on utilise entre 2 points de coordonnées (X1,Y1) et (X2,Y2) respectivement

Distance=Racine((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)

L’écart type étant la racine de la variance on retrouve le même genre de formule entre distance euclidienne et Ecart type.
C’est logique l’écart type sert à mesurer une distance moyenne mais avec 1 seule dimension pas 2 comme dans mon exemple de distance euclidienne.

[quote]
Sinon pour repondre a ta question , de base c’était pour voir si j’avais compris un minimum , et aussi pour comparé la variance que je peut attendre sur quelques années de jeux en jouant n tournois par jours. en considérant que ma moyenne reste la même.Au final joué un peut avec la formule ^^

Edit : Reste pas loin , il me reste beaucoup de chose a voir avant la fin du bouquin :D[/quote]

No prob

sixsicksix · Juin 28, 2013, 6:39

[quote=“fab12, post:612990”][quote=“sixsicksix, post:612964”]Vraiment grand merci fab , tres clair , effectivement j’avais pas bien intégré que la formule donné la variance de la variable X , et de ce faite j’ai pas fait la différence entre gain total et gain moyen , beaucoup plus clair pour moi maintenant.

Sinon , il y a juste le passage ou tu démontre que pour obtenir la variance du gain moyen on divise par n.

j’ai pas bien compris l’équivalence qui fait sortir le (1/n)^2 par V(a x X) = a^2 + v(x) , tu peut développé cette égalité stp?
[/quote]

C’est une propriété de la variance.
Si a est un nombre réel quelconque alors V(a x X) = a^2 x V(X)

Pour le démontrer suffit de revenir à la définition

V(X) = Somme -> Pi(Xi-Y)^2
V(a x X) = Somme -> Pi((a x Xi)-(a x Y))^2
= Somme -> Pi((a x (Xi-Y))^2)
= Somme -> a^2 x (Pi(Xi-Y)^2)
= a^2 x V(X)

Je ne sais pas si c’est la seule raison mais cela permet de ne pas avoir de valeur négative quand Xi<Y.
Si on imagine que la V(X)=Pi x (Xi-Y).

Alors si tu gagnes 10€ sur un tournois à 10€ et perd un autre tournois à 10€ tu aurais

Y=0
et V(X)=1/2 x (10-0)+1/2 x (0-10)=0

Tu aurais une variance nulle alors que le but de la variance est de mesuré à quelle point la variable X s’éloigne de sa valeur moyenne.
Qu’elle soit au dessus ou en dessous ne change rien à la variance, ce qui compte c’est la différence en valeur absolue.

Après j’imagine qu’on aurait pu dire V(X) = Pi x Abs(Xi-Y)

On serait juste arrivé à d’autres valeurs et propriétés.
Mais peut être qu’il y a d’autres raisons aussi.

Pour info cela rejoint aussi la formule de la distance que l’on utilise entre 2 points de coordonnées (X1,Y1) et (X2,Y2) respectivement

Distance=Racine((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)

L’écart type étant la racine de la variance on retrouve le même genre de formule entre distance euclidienne et Ecart type.
C’est logique l’écart type sert à mesurer une distance moyenne mais avec 1 seule dimension pas 2 comme dans mon exemple de distance euclidienne.

[quote]
Sinon pour repondre a ta question , de base c’était pour voir si j’avais compris un minimum , et aussi pour comparé la variance que je peut attendre sur quelques années de jeux en jouant n tournois par jours. en considérant que ma moyenne reste la même.Au final joué un peut avec la formule ^^

Edit : Reste pas loin , il me reste beaucoup de chose a voir avant la fin du bouquin :D[/quote]

No prob ;-)[/quote]

Bah Grand merci fab , j’ai compris pas mal de chose grâce a toi.