Arriverez-vous à résoudre cette énigme inédite ? (très difficile)

• 22 mai 2020
• petiteglise
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Pour résoudre cette énigme, aucun calcul difficile ni aucune connaissance mathématique ne sont nécessaires. En revanche, il vous faudra faire preuve de beaucoup de logique, sagacité et imagination. Etes-vous de taille à relever le défi ?

Je vais d'abord énoncer l'énigme dans sa version la plus difficile. Ceux qui veulent tenter de la résoudre devront arrêter la lecture à la fin de l'énoncé. Je poursuivrai en donnant une version légèrement plus simple. Ensuite, nous verrons la résolution des énigmes étape par étape. Ceux qui sont bloqués pourront donc lire petit à petit et ne pas se faire spolier l'ensemble de la solution.

10201 mallettes et 2 balances : l'énoncé

Un fabricant de poker a créé 10201 mallettes contenant chacune 100 jetons. (Note : 10201=101*101)
10200 de ces mallettes sont parfaites et chacun de leurs jetons pèse 10g.
Une de ces mallettes est défectueuse et ses 100 jetons pèsent 11g chacun.

Pour déterminer avec certitude laquelle des 10201 mallettes est défectueuse le fabriquant dispose de deux balances :

• Une balance à bascule traditionnelle hyper précise et qui peut contenir des tonnes.
• Une balance électronique de cuisine qui affiche le poids à 2g près et ne peut supporter pas plus de 100g.

Comment le fabricant peut déterminer la mallette défectueuse en utilisant que 2 fois chacune des 2 balances ?

40401 mallettes et 2 balances : l'énoncé

Quand j'ai posté l'énigme ci-dessus sur le forum, j'avais remarqué qu'il suffisait que la balance électronique soit précise à 2g près, mais n'ayant pas vu de solution alternative j'ai simplifié en disant qu'elle était précise à 1g près. Je félicite et remercie donc greg31150 qui a été le premier à résoudre l'énigme, en dénichant une solution "soeur" utilisant la précision à 1g. Cette solution permet en outre d'augmenter le nombre de mallettes. En optimisant, on parvient à 40401 mallettes.

Un fabricant de poker a créé 40401 mallettes contenant chacune 100 jetons. (Note : 40401=201*201)
40400 de ces mallettes sont parfaites et chacun de leurs jetons pèse 10g.
Une de ces mallettes est défectueuse et ses 100 jetons pèsent 11g chacun.

Pour déterminer avec certitude laquelle des 40401 mallettes est défectueuse le fabriquant dispose de deux balances :

• Une balance à bascule traditionnelle hyper précise et qui peut contenir des tonnes.
• Une balance électronique de cuisine qui affiche le poids à 1g près et ne peut supporter pas plus de 100g.

Comment le fabricant peut déterminer la mallette défectueuse en utilisant que 2 fois chacune des 2 balances ?

40401 mallettes et 2 balances : la résolution

Commençons par résoudre le 2e énoncé, légèrement plus simple.

Première étape : comprendre comment utiliser les balances

La clef de l'énigme réside dans la manière d'utiliser les balances. La balance électronique ne pouvant supporter pas plus de 100g, il faut être créatif ! 

Si l'on met 1 tonne à gauche de la balance à bascule et 1 tonne + 10g à droite, on peut très bien utiliser la balance électronique pour mesurer cette différence de 10g ! 

On est bien d’accord que tout cela n'est pas facile à mettre en place en pratique. Il s’agit d’une énigme de logique, pas d’une recherche d’efficience en situation réelle ;)

Deuxième étape : comprendre comment trouver une mallette défectueuse parmi 201 en utilisant une seule fois chaque balance

• On met une mallette de côté
• Il reste 200 mallettes qu'on divise en 2 : une centaine gauche et une centaine droite
• On numérote toutes les mallettes : mallette 1 de gauche, mallette 2 de gauche, etc.
• On prend 1 jeton de la mallette 1 de gauche et on le met dans le balancier de gauche
• On prend 1 jeton de la mallette 1 de droite et on le met dans le balancier de droite
• On prend 2 jetons de la mallette 2 de gauche et on les met dans le balancier de gauche
• On prend 2 jetons de la mallette 2 de droite et on les met dans le balancier de droite
• ...
• ...
• On prend 100 jetons de la mallette 100 de gauche et on les met dans le balancier de gauche
• On prend 100 jetons de la mallette 100 de droite et on les met dans le balancier de droite

Il y a donc autant de jetons à gauche comme à droite.

• Si la balance est parfaitement équilibrée, cela signifie que tous les jetons ont le même poids. La mallette défectueuse est donc la 201e, celle que l'on avait mise de côté !
• Si la balance penche d'un côté, on mesure la différence de poids grâce à la balance électronique. Le résultat nous donne le numéro de la mallette défectueuse.

Par exemple, si la balance à bascule penche du côté gauche et la balance électronique affiche 20g, c'est que l'on a mis 20 jetons défectueux à gauche. La mallette défectueuse et donc la "mallette 20 de gauche".

Troisième étape : comprendre comment passer de 40401 mallettes à 201 en utilisant une seule fois chaque balance

• On répartit les mallettes en 201 groupes de 201 mallettes
• On met un de ces groupes à l'écart
• On divise les 200 groupes restants en 2 : une centaine gauche et une centaine droite
• On numérote tous les groupes : groupe 1 de gauche, groupe 2 de gauche, etc...
• On prend 1 jeton de chacune des 201 mallettes du groupe 1 de gauche et on le met dans le balancier de gauche
• ...
• On prend 100 jetons de chacune des 201 mallettes du groupe 1 de droite et on les mets dans le balancier de droite

Il y a donc autant de jetons à gauche comme à droite.

• Si la balance est parfaitement équilibrée, cela signifie que tous les jetons ont le même poids. Le groupe contenant la mallette défectueuse est donc le 201e, celui que l'on avait mis de côté !
• Si la balance penche d'un côté, on mesure la différence de poids grâce à la balance électronique. Le résultat nous donne le numéro du groupe contenant la mallette défectueuse.

En utilisant une fois chaque balance, on passe donc de 40401 mallettes à seulement 201. On n'a plus qu'à procéder à l'étape 2.

10201 mallettes et 2 balances : la résolution

La méthode est similaire, on va d'abord séparer les 10201 mallettes en 101 groupes de 101 mallettes. En utilisant une fois chaque balance on trouvera le groupe contenant la mallette défectueuse, puis en utilisant une nouvelle fois chaque balance, on trouvera la mallette défectueuse.

Mais il faut ici être plus subtil, car la balance électronique n'est précise qu'à 2g près.

Comment trouver la mallette défectueuse parmi 101 en utilisant une seule fois chaque balance ?

On numérote les mallettes de 0 à 100.

• De la mallette 0 on met 0 jeton à gauche et 100 jetons à droite
• De la mallette 1 on met 1 jeton à gauche et 99 jetons à droite
• De la mallette 50 on met 50 jetons à gauche et 50 jetons à droite
• De la mallette 100 on met 100 jetons à gauche et 0 jetons à droite

On remarque que tous les jetons sont posés sur la balance à bascule, une moitié de chaque côté.
Si la balance est équilibrée, c'est que la mallette défectueuse est la 50e.
Si la balance est déséquilibrée on mesure la différence de poids grâce à la balance électronique. Cette différence est forcément un nombre pair.

Si par exemple la balance à bascule penche à gauche et la balance électronique affiche 2g, c'est que l'on a mis 51 jetons défectueux à gauche et 49 à droite, la mallette défectueuses est donc la 51e. 
Si par exemple la balance à bascule penche à droite et la balance électronique affiche 20g, c'est que l'on a mis 40 jetons défectueux à gauche et 60 à droite, la mallette défectueuses est donc la 40e. 

Comment trouver la mallette défectueuse parmi 10101 en utilisant deux fois chaque balance ?

Comme pour la version avec 40401 mallettes, on divise les 10101 en 101 groupes de 101 mallettes.