Tout comprendre aux cotes (poker et paris)

01 mars 2017
petiteglise
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Qu'est-ce qu'une cote ? Comment passer d'une proba à une cote ? Sur un site de paris, quelle est la différence entre cote européenne, cote UK et cote US ? Comment créer un book tel un bookmaker ? Comment calculer le rake d'un site de paris ?

Le sujet des cotes a été traité dans l’excellente série d’articles de Nico_1963 Texas Hold'em: Théorie et probabilités J’y reviens plus en détails notamment pour parler des cotes de paris.

Qu'est-ce qu'une cote ?

Nous avons vu dans l’article Tout comprendre aux probabilités qu’une probabilité exprime soit une certitude, soit une fréquence, par un nombre réel compris entre 0 et 1.
Une cote est l’expression d’un rapport.
Par exemple, si l’on a 100€ à mettre dans un pot qui en fait déjà 200, la cote du pot est le rapport de ces deux sommes. 200 : 100 soit 2 : 1, que l’on lit 2 contre 1.
NB : certains utilisent l’écriture a/b et non a : b pour une cote, je préfère personnellement réserver le signe / aux fractions et aux probabilités.

Une cote peut servir à exprimer une probabilité, en utilisant le rapport : cas favorables : cas défavorables. C’est ce qu’on appelle une cote pour (odds in favor)
Par exemple, si on considère l’événement je tire une carte au hasard et c’est un pique, il y a un cas favorable et 3 cas défavorables. La cote pour est de 1 : 3
Réciproquement, on peut utiliser le rapport inverse, à savoir cas défavorables : cas favorables. C’est ce qu’on appelle une cote contre (odds against). Si on considère le même événement, la cote contre est de 3 : 1

Pour l’instant, nous n’allons considérer que des cotes pour.

Après la turn, vous avez un tirage quinte par les deux bouts, soit 8 outs, quelle est votre cote ? Il reste 52-2-4= 46 cartes. Il y a 8 cartes favorables et 38 cartes défavorables. La cote est donc de 8 : 38 soit 1 : 4.75 Comme dans l’exemple ci dessus, on essaie, pour plus de clarté, de simplifier la cote de manière à avoir un 1

Passer d’une cote à une probabilité

Une cote, c’est : nombre de cas favorables : nombre de cas défavorables.
Une probabilité, c’est : nombre de cas favorables / nombre de cas totaux.
Donc si l’on a une cote a : b, la probabilité associée est a/(a+b)
Réciproquement, si l’on a une probabilité de x/y, la cote associée est x : y-x

Cote	Probabilité	Pourcentage
10 : 1	10/11	90.9%
3 : 1	3/4	75%
2 : 1	2/3	66.7%
1 : 1	1/2	50%
1 : 2	1/3	33.3%
1 : 3	1/4	25%
1 : 10	1/11	9.1%

On remarque que les probabilités inférieures à 50 % correspondent à des cotes simplifiées sous la forme 1 : n et les probabilités supérieures à 50% correspondent à des cotes simplifiées sous la forme n : 1

Les cotes des sites de paris

Les sites de paris utilisent 3 formats différents. Pour les comprendre, considérons un évènement de probabilité ⅓ et des sites sans rake.

Le format fraction (vrai pari)

C’est le format que nous venons de décrire, utilisé au poker et sur les sites de paris du Royaume Uni.
Un pari à 1 chance sur 3 vous sera proposé avec une cote de 2 : 1
Il s’agit donc de la cote contre, telle que définie plus haut. Le site vous propose donc le pari suivant : si tu gagnes, tu gagnes 2, si tu perds, tu perds 1
Un pari à 2 chances sur 3 vous sera proposé avec une cote de 1 : 2

Le format décimal (lotterie)

C’est le format utilisé majoritairement sur les sites de paris en France et en Europe.
Un pari à 1 chance sur 3 vous sera proposé avec une cote de 3.
Cette présentation ressemble plus à celle du loto : tu achètes un ticket à 1 et si tu gagnes, tu remportes 3… moins le prix de ton ticket.
Un pari à 2 chances sur 3 vous sera proposé avec une cote de 1.5

Le format moneyline

C’est le format majoritairement utilisé sur les sites de paris aux USA.
Un pari à 1 chance sur 3 vous sera proposé sous la forme +200 c’est à dire le gain que vous pouvez réaliser en pariant 100
Un pari à 2 chances sur 3 vous sera proposé sous la forme -200 c’est à dire la somme à parier pour pouvoir gagner 100

Make a book like a bookmaker

Pour bien comprendre le fonctionnement des bookmakers, nous allons nous-mêmes fabriquer le book d’un match.

La forme la plus primitive des paris est celle des paris dits mutualisés : on mise sur un résultat sans connaître la cote et les gagnants se répartissent les mises des perdants.
C’est le plus simple pour organiser un pari entre amis : vous êtes 10 à regarder Barcelone PSG, chacun mise 10€ sur le résultat qu’il souhaite, sans savoir ce que les autres ont misé. Une fois les paris clos, vous constatez que 5 joueurs ont parié sur Barcelone, 3 sur nulle et 2 sur Paris. Il y a match nul. Les 3 gagnants regagnent chacun leur mise de 10€ plus un gain net de 70/3=23.33€.
Le PMU, acronyme de Pari Mutuel Urbain, fonctionne selon ce principe.

Les paris sportifs actuels sont à cotes fixes : contrairement aux paris mutualisés, le parieur sait exactement ce qu’il peut gagner au moment de sa mise.

La première difficulté, et pas la moindre, est de trouver les probabilités "réelles" de chacun des 3 résultats : gain, nulle, perte. Seul, c’est évidemment très difficile, mais les sites disposent d’experts et d’algorithmes, se comparent entre eux et ajustent les cotes en fonction des mises.

Nous allons prendre un exemple simple, en posant :
Proba de gain = 50% (½)
Proba de nulle = 33.33% (⅓)
Proba de perte = 16.66% (⅙)
On remarque que la somme des probabilités donne bien 100%.

En convertissant en cote, on propose donc les paris suivants
Gain à 1 : 1
Nulle à 2 : 1
Perte à 5 : 1

Ces trois paris constituent un book cohérent : en misant sur tous les paris, un joueur gagnerait 0 et, plus important, chaque pari est censé correspondre aux probabilités réelles et avoir une Ev0.

Il manque le plus important pour le bookmaker : le rake ou la marge. En France il est aux alentours de 13%. Pour simplifier, nous allons choisir une marge de 10%. Le principe est simple, en conservant la proportion des probabilités, leur total ne doit plus faire 100% mais 110%.

On obtient donc :
Proba de gain = 55%
Proba de nulle = 36.67%
Proba de perte = 18.33%

Ce qui en cote donne :
Gain à 1 : 1.22
Nulle à 1.73 : 1
Perte à 4.46 : 1

Si les parieurs misent en proportion des probabilités (la moitié de la somme des paris sur gain, un tiers sur nulle, un sixième sur perte) vous êtes certain de gagner de l’argent.
En imaginant que les parieurs misent en tout 110€ avec 55 sur Gain, 36.67€ sur Nulle et 18.33 sur Perte, vous gagnerez 10€ quoiqu’il arrive !
Soit un profit de 9.09%.
NB : Il y a parfois ambiguïté sur ce qu’on appelle le rake, selon qu’il s’agisse de la marge ou du profit.

Attention, les probabilités des sites de paris, même une fois le rake enlevé, ne correspondent pas toujours aux probabilités “réelles”. Prenons l’exemple du pari sur qui sera qualifié entre Barcelone et le PSG après le 4-0 de Paris à l’aller. La cote réelle du PSG doit être très basse et n’attirera pas grand monde, tandis que la cote de Barcelone sera très élevée et attirera énormément de mises.
Dans ce cas de figure d’un pari populaire à très grosse cote, un bookmaker prudent baissera volontairement la grosse cote (et augmentera la petite) pour éviter tout risque de faillite.